Równania Naviera-Stokesa od dwóch stuleci stanowią podstawę modelowania przepływu cieczy i gazów. Znajdują zastosowanie w projektowaniu aerodynamicznych skrzydeł samolotów, symulacjach przepływu krwi przez tętnice, a także w konstrukcji rakiet kosmicznych. Jednak mimo powszechności ich zastosowań, równania te w pewnych warunkach potrafią „załamać się” i generować nielogiczne, nieprzewidywalne wyniki.
Kluczowym pytaniem, które od lat nurtuje matematyków, jest to, czy równania te zawsze poprawnie odzwierciedlają rzeczywistość, czy też istnieją sytuacje, w których ich rozwiązania mogą być nieregularne lub wręcz nieistniejące. Rozstrzygnięcie tej kwestii to jeden z sześciu pozostałych do rozwiązania tzw. Problemów Milenijnych, ustanowionych przez Clay Mathematics Institute.
Rozwiązanie problemu Naviera-Stokesa coraz bliżej
Tristan Buckmaster z Uniwersytetu Nowojorskiego oraz Levent Alpöge z firmy Anthropic ogłosili przełomowe rezultaty, które przybliżają świat nauki do rozwiązania problemu Naviera-Stokesa. Wyniki zostały opublikowane w formie dokumentu na stronie Buckmastera, a dwa z trzech osiągnięć zostały dodatkowo sformalizowane w języku Lean, specjalistycznym narzędziu pozwalającym na przekształcenie teorii matematycznych w kod komputerowy, który umożliwia rygorystyczną weryfikację logiczną.
Odkrycia dotyczą blisko spokrewnionych z równaniami Naviera-Stokesa zagadnień: przybliżenia Boussinesqa oraz równań Eulera. Choć nie odnoszą się jeszcze bezpośrednio do pełnego problemu Naviera-Stokesa, stanowią istotny krok naprzód. W swoich pracach Buckmaster i Alpöge bazowali na wcześniejszych badaniach Diego Córdoby i Luisa Martíneza-Zoroa, korzystając przy tym z zaawansowanych modeli językowych sztucznej inteligencji, takich jak te rozwijane przez Anthropic i OpenAI.
AI wspomaga wysiłek matematyczny człowieka
Ani Buckmaster, ani Alpöge nie odpowiedzieli na prośbę „New Scientist” o komentarz. W oświadczeniu na swej stronie internetowej Buckmaster podkreśla, że choć same wyniki są ważne, jeszcze istotniejsze jest to, że AI staje się potężnym narzędziem wspomagającym wysiłek matematyczny człowieka, przyspieszając postęp naukowy. Porównał ten moment do historycznej rozgrywki szachowej między IBM Deep Blue a Garrym Kasparovem, kiedy to w 1996 roku komputer po raz pierwszy pokonał mistrza świata.
Eksperci są przekonani, że rozszerzenie tych wyników na równania Naviera-Stokesa nie będzie proste. Mimo to, nie wyklucza się, że już obecne osiągnięcia mogą otworzyć przez Buckmasterem i Alpöge drogę do zdobycia nagrody Milenium.
Kamienie milowe
Zdaniem Davida Silvestera z Uniwersytetu w Manchesterze, opublikowane wyniki można traktować jako kamienie milowe prowadzące do pełnego rozwiązania równań Naviera-Stokesa. Silvester zwraca uwagę, że praca dotycząca równań Eulera pokazuje, iż w tych modelach mogą spontanicznie pojawiać się tzw. „wybuchy”, czyli nagłe turbulencje. „To niezwykle trudny problem, ponieważ od samego początku nie było jasne, czy szukamy dowodu na istnienie gładkich rozwiązań, czy też kontrprzykładu. Nie wiadomo, czy należy coś udowodnić, czy obalić” - dodaje Silvester.
„New Scientist” cytuje Terence'a Tao z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles, który w mediach społecznościowych wyraził przekonanie, że prace te przybliżają nas do pełnego rozwiązania problemu. „Nie widzę żadnej fundamentalnej przeszkody, by zastosowane metody nie mogły zostać rozszerzone na równania Naviera-Stokesa. W tej chwili nie zdziwiłbym się, gdyby przy odpowiedniej mocy obliczeniowej i wsparciu AI udało się osiągnąć ten cel” - napisał Tao.
Camilla Nobili z Uniwersytetu w Surrey podkreśla, że kluczowe pytanie brzmi, czy podobny przykład uda się znaleźć dla równań Naviera-Stokesa, które w przeciwieństwie do równań Eulera uwzględniają dodatkowe czynniki, takie jak tarcie i rozpraszanie energii. Te elementy naturalnie wygładzają symulacje i utrzymują ich regularność. Nobili uważa, że samo powtórzenie obecnych technik nie wystarczy, ale jest optymistycznie nastawiona do dalszych badań.
„To raczej matematyczna ciekawostka”
Mimo wagi problemu i emocji, które towarzyszą nadziejom na rozwiązanie problemu Naviera-Stokesa, ewentualny sukces nie przyniesie prawdopodobnie żadnej rewolucji w praktycznych zastosowaniach. Jak zauważa Silvester, współczesne modele komputerowe dynamiki płynów są już tak zaawansowane, że w wielu przypadkach wyparły tradycyjne tunele aerodynamiczne.
Te wyniki nic nie zmienią w praktycznych zastosowaniach tych równań. To raczej matematyczna ciekawostka - podsumowuje Silvester.
Rozgłos towarzyszący oświadczeniu Buckmastera i Alpöge wskazuje jednak, że możemy stać u progu nowego rozdziału w historii matematyki i nauki w ogóle, w którym przełomowe osiągnięcia mogą być owocem współpracy człowieka i sztucznej inteligencji.
